无约束情况下的优化，经济订货批量EOQ的建模思路

经济订货批量（Economic Order Quantity，简称EOQ）是经典的经济学和供应链模型，相信大家在学习供应链的时候都接触过它。

虽然说模型已经不太适用于现在的市场环境，但是建模的思路依然值得我们学习，可以帮助我们提升数学方面的思维能力，这种方法论可以应用在其他的建模过程中，所以今天我来为大家重温一下这个经典的模型。

一、构建EOQ模型的基本思路

买东西是有成本的，其中最主要的有这二块，首先是订货的成本，要知道在100多年前，发明模型的那个年代是没有电脑的，下订单全靠手工计算，然后做文件资料。

在模型设计者看来，不管买多少数量，订货成本都是一样的，买100件和1万件的订货成本没有差别，这是模型的假设。

第二块成本是商品的持有成本，货物在没有卖出去之前，会产生一些费用，比如说如果你是借钱来买商品的，需要支付利息和保管费，这部分费用与商品价格和订货量有关。

就这样，我们总结出了订货相关的费用，企业的目标是要让总的成本最小，要算出订货成本和持有成本之和的最小值。

EOQ模型假设资源是无限的，也就没有资源的约束条件，当然我们知道在现实中是不可能的，总是存在着各种资源的瓶颈，比如原材料、人力资源、费用预算等，都是有上限的，不可能想要多少，就有多少。

但EOQ就是基于无约束条件下的求解，去寻找成本最小的那个值，也叫极值。好了，让我们开启这趟寻找极值之旅吧。

二、建立模型公式

我们需要建立一个场景，这样就更有代入感。假设张三在上海经营着一家精品咖啡店，需要经常采购高品质的咖啡豆。

张三的店生意不错，采购的豆子都可以消耗完，需求量就等于采购量，他平均每年需要采购500包豆子，所以年需求量就是500。总成本是由订货成本和持有成本组成的，我们就来分别设立公式计算。

1.订货成本

假设张三每次的订货量是Q，那么他在一年中采购次数就等于500÷Q，这是反比关系，每次买的数量越多，一年中采购次数就越少。

张三每次下单都需要花费一些时间，而时间是有成本的，他在这段时间里可以打几杯咖啡，或是陪顾客聊聊天，他为了下订单，就做不了这些增值的事情了，所以下单是有成本的。

假设张三每次下单补货，不管买多少包咖啡豆，都相当于是100元。每年的总订货成本就等于：

每年订货成本=500/Q×100=50000/Q

如果把订货量定义为从1至100的连续整数，套入上面的公式中，就能得到这样的一条曲线。

张三每次只订购1包豆子，全年他需要采购的次数是500次，年订货成本就是50000元。如果张三为了省事，每次买100包，一年里只需要采购5次，那么年订货成本只需500元。

这条曲线的特征是在最初阶段，随着购买次数的增加，订货成本迅速降低，接下来的降速虽然变慢了，但永远也不会为零。

2. 持有成本

咖啡豆不能长期存放，时间久了，咖啡的风味会变差。如果囤积了太多的豆子，还会占用张三的流动资金，会影响他采购其他的原料，他也没有钱去支付店铺租金、工资和其他运营费用。

张三经过测算，每包咖啡豆每年会占用200元的资金成本。为了和订货成本保持一致，要使用相同的单位，于是就得到了每年的持有成本，它等于：

每年持有成本=200×平均库存量

这个公式想要表达的是，豆子的库存越多，张三的持有成本就越高，这点非常符合逻辑。如何来计算平均库存量呢？在EOQ模型里使用的一个非常朴素的方法。

假设张三每次都是等到库存消耗殆尽了才安排补货，而且都是立即到货，每次补货的数量也是固定的，这样他的库存最小值为零，最大值就是经济订货量Q，所以平均库存就是零加上Q除以2。年持有成本就等于了：

每年持有成本=200×Q/2=100×Q

张三的咖啡豆库存越多，它的持有成本就会越高，肯定是成正比关系，make sense，没毛病。

把持有成本的公式也加进去，就会得到这样的一张图。当张三每次只买一包咖啡豆时，年持有成本是100元，当他一次性买100包，年持有成本就高达10000元。

图中订货和持有成本在某处相交了，他们的交叉点，是否可以给我们一些启示呢？

根据此前提出的要求，我们的目标是最小化订货成本和持有成本之和，现在就可以把这两项成本加在一起，得到了这样的公式：

每年总成本=每年订货成本+每年持有成本

=50000/Q+(100×Q)

我们把每年总成本曲线也加进来，就会发现它是一条很有意思的线，一开始随着订货数量的增加而减少，但是到达一定量之后，总成本开始回升，我们要求的就是这条曲线上的最小值，这里就是经济订货量